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试题名称： 有趣的数
时间限制： 1.0s
内存限制： 256.0MB
问题描述： 问题描述
我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。 2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。 3. 最高位数字不为0。 因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。 请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。 输入格式 输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。 输出格式 输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。 样例输入 4 样例输出3
解题思路:
- 在满足题意的情况下，首位只能是2
最高位不为0，
如果最高位为1，则不满足0在1之前，
最高位为3则不满足2在3之前，
所以最高位只能为2.
2、在网上找了个动态规划的方法，研究了一晚上大概是这样理解的：
前n步所有的最优解=前n-1步所有的最优解+第n步的最优解。
首先考虑0、1、2、3四位的方法，不考虑四位以上。
那么我可以把哪个数字放在首位呢？0？首位不能是0
1？那么0该放哪呢？
2。挺合适
3？那么2该放哪呢？
所以我们获得了第一步骤——放2，一个数字2
现在我们来接着第一步骤继续：
我们现在成功放了2了，那么剩下0、1、3。
20？可以
23？可以
21？0该放哪里？
所以我们获得了第二步骤——放0，两个数字 2和0
以及第三步骤——放3，两个数字 2和3
我们现在先研究第二步骤——放0，两个数字 2和0
我们现在放了20了，那么剩下1、3
201？可以
203？也可以
所以我们获得了第四步骤——放1，三个数字 2 0 1
以及第五步骤——放3 三个数字 2 0 3
我们现在来接着研究第三步骤：放3，两个数字 2和3
230？可以，这是第五步骤
231？0该放哪里？
所以第三步骤可以和第五步骤建立联系
我们最后研究第四步骤: 放1，三个数字 2 0 1 和 第五步骤：放3 三个数字 2 0 3
2031?刚好放完四个数字
所以我们获得了第六步骤：四个数字0123放完====================================================================
总结：
第一步骤：2 剩余 0 1 3
第二步骤：2 0 剩余 1 3
第三步骤：2 3 剩余 0 1
第四步骤：2 0 1 剩余 3
第五步骤：2 0 3 剩余 1
第六步骤：2 0 3 1 剩余 无
流程图如下：
根据动态规划的思想：
前n步所有的最优解=前n-1步所有的最优解+第n步的最优解。
首先，两个动态增加的量，一个是数字的位数N，另一个是0、1、2、3中出现的个数（虽然要求都至少出现一次，但 是为了维护思想的完整性，所以从出现1个，2个。。。一直递推到4个，额，好像1个、2个完了后，再有个3个就递推到4 个了，算了，不要在意这些细节）。 数字的位数从1增加到N没有问题。 关键我们来看看第二个增量。
状态2和状态3的最优解，依赖于状态1；状态4的最优解依赖于状态2，状态5的最优解依赖于状态2和状态3，状态6的最优解，依赖于状态4和状态5.
3、根据状态之间的转化进行递推：
建立一个二维数组a[N][6],横坐标表示数位N，纵坐标表示刚才的6种状态。
这样的话：
a[ ][ 0 ]就是状态一 // 2 剩余 0 1 3
a[ ][ 1 ]就是状态二 // 2 0 剩余 1 3
a[ ][ 2 ]就是状态三 // 2 3 剩余 0 1
a[ ][ 3 ]就是状态四 // 2 0 1 剩余 3
a[ ][ 4 ]就是状态五 // 2 0 3 剩余 1
a[ ][ 5 ]就是状态六 // 2 0 1 3 剩余 无
第i位出现第j种状态的情况数表示为 a[i][j]
i位数的来源在于（i-1）位数（已经按顺序排列）+最后一位数字
例如：a[i][0] = a[i-1][0] ;
使用过2 的情况可以由： 前i-1位使用2（状态1），第i位使用2
a[i][1] = (a[i-1][0] + a[i-1][1] *2);
使用过 2 0 的情况可以由：前i-1位使用2（状态1），第i位使用0 前i-1位使用2 0（状态2），第i位使用0或2 （顺序正确）a[i][2] = (a[i-1][0] + a[i-1][2] );
使用过 2 3 的情况可以由：前i-1位使用2（状态1），第i位使用3 前i-1位使用2 3（状态3），第i位使用3 （因为已经有了3了不能用2了，只能用3）a[i][3] = (a[i-1][1] + a[i-1][3] *2);
使用过 2 0 1 的情况可以由：前i-1位使用2 0（状态2），第i位使用1 前i-1位使用2 0 1（状态4），第i位使用1或2 （因为已经有了1了不能用0了，只能用1）a[i][4] = (a[i-1][1] + a[i-1][2] + a[i-1][4] *2);
使用过 2 0 3 的情况可以由： 前i-1位使用2 0（状态2），第i位使用3 前i-1位使用2 3（状态3），第i位使用0 前i-1位使用2 0 3（状态5），第i位使用0或3 （因为已经有了3了不能用2了，只能用3）a[i][5] = (a[i-1][3] + a[i-1][4] + a[i-1][5] *2);
使用过2 3 0 1的情况可以由： 前i-1位使用2 0 1（状态4），第i位使用3 前i-1位使用2 0 3（状态5），第i位使用1 前i-1位使用2 3 0 1（状态6），第i位使用1或3（因为已经有了1了不能用0了，只能用1）
（因为已经有了3了不能用2了，只能用3）
题目要求的答案为a[n][5],即0 1 2 3都使用过。4.注意答案可能非常大，会爆int，应用long long。
由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
mod = 1000000007;
1 a[0][0] = 1; 2 for (int i = 1; i < N; i++) { 3 j = i - 1; 4 a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod; 5 a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod; 6 a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod; 7 a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod; 8 a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod; 9 a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod; 10 } 11 System.out.println(a[N - 1][5]); 5.代码如下（java）：
版本1（完全符合以上分析，好理解）：
1 package ccf_text; 2 3 import java.util.Scanner; 4 5 public class MainD2 { 6 public static void main(String[] args) { 7 Scanner in = new Scanner(System.in); 8 int N = in.nextInt(); 9 long a[][] = new long[N][6]; 10 int j = 0; 11 long mod = 1000000007; 12 // 2 13 // 2 0 14 // 2 3 15 // 2 0 1 16 // 2 0 3 17 // 2 0 1 3 18 a[0][0] = 1; 19 for (int i = 1; i < N; i++) { 20 j = i - 1; 21 a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod; 22 a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod; 23 a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod; 24 a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod; 25 a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod; 26 a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod; 27 } 28 System.out.println(a[N - 1][5]); 29 } 30 } 版本2（标准答案）：
1 package ccf_text2013_12; 2 3 import java.util.*; 4 /** 5 * 我们把一个数称为有趣的，当且仅当： 6 1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。 7 2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。 8 3. 最高位数字不为0。 9 因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。10 请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。11 * @author Hello stranger12 *13 */14 public class InterstingData {15 public static void main(String[] args) {16 new InterstingData().run();17 }18 19 public void run() {20 Scanner fin = new Scanner(System.in);21 22 int N = fin.nextInt();23 long[] count = new long[8];24 count[6] = 0;25 count[7] = 1;26 long mod = 1000000007;27 for (int i = 2; i <= N; ++i) {28 long[] newCount = new long[8];29 newCount[0] = (count[0] * 2 + count[1] + count[3]) % mod;30 newCount[1] = (count[1] * 2 + count[2] + count[5]) % mod;31 newCount[2] = (count[2] + count[6]) % mod;32 newCount[3] = (count[3] * 2 + count[4] + count[5]) % mod;33 newCount[4] = (count[4] + count[7]) % mod;34 newCount[5] = (count[5] * 2 + count[6] + count[7]) % mod;35 newCount[6] = 0;36 newCount[7] = 1;37 38 count = newCount;39 }40 41 System.out.println(count[0]);42 }43 }
6.运行结果示例：
